miércoles, 24 de agosto de 2011

FRACCIONES HOMOGENEOS

FRACIONES HOMOGÉNEAS

Se llaman fracciones homogéneas a aquellas que comparten el mismo denominador por ejemplo (3/4 y 5/4) si no comparten el denominador las llamamos fracciones heterogéneas.
Si realizamos una suma o adición de fracciones homogéneas, debemos sumar los numeradores y mantener igual el denominador. Veamos un ejemplo de esto:


En caso de realizar sustracciones o restas, procederemos de la misma forma que en una suma, pero en este caso estamos restando. Observemos un ejemplo:


En la multiplicación de fracciones homogéneas lo que debemos hacer es multiplicar por un lado el numerador y por otro lado el denominador. Debemos tener en cuenta que esto se aplica también a las fracciones heterogéneas, de esta forma obtenemos el producto. veamos a continuación una fórmula para esto:

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el resultado de la multiplicación de la primera por el denominador de la segunda, o sea el producto de esto, y tendrá como denominador el producto del denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda. Llamaremos a esto, productos cruzados. Siempre se cambia a la multiplicación, y la segunda fracción cambia al recíproco. Esto no se aplica solamente a las fracciones homogéneas sino que también se aplica a las fracciones heterogéneas. Observemos a continuación la siguiente fórmula que nos dará el ejemplo:


FRACCIONES HETEROGENEAS

FRACCIONES HETEROGÉNEAS
Se dice que dos fracciones son heterogéneas cuando estas poseen distinto denominador, por lo cual se diferencian de las fracciones homogéneas, que tienen el denominador en común. Si lo que queremos es realizar sumas o restas con fracciones heterogéneas lo que debemos hacer en primer lugar, es encontrar el común denominador, o sea hallar el mínimo común múltiplo de todos los denominadores. Luego de esto lo que se debe hacer es colocar el denominador común, dividimos entonces el común denominador entre el primer denominador y el resultado lo multiplicamos por el numerador. Repetimos la operación con cada una de las fracciones que tengamos. Por último se suman los resultados obtenidos y así finalizamos. A veces no es necesario multiplicar entre si los denominadores, eso depende de las fracciones que tengamos. Veamos ahora un ejemplo de suma de fracciones heterogéneas bastante sencillo:

Vemos en el ejemplo anterior que en primer lugar se multiplicaron los denominadores, luego se realizó la multiplicación cruzada. Se sumaron los productos para obtener luego el numerador y finalmente se simplificó la fracción. Observemos otro ejemplo:

Podemos observar en este ejemplo que no fue necesario multiplicar entre si los denominadores, ya que 8 es múltiplo común tanto de 2 como de 4 así como de si mismo.
En la resta o sustracción de fracciones heterogéneas debemos utilizar las mismas reglas que usamos en la suma, lo único que cambia es que en este caso tenemos que restar en vez de sumar. Veamos un ejemplo:

En la multiplicación de fracciones, tanto fracciones homogéneas como heterogéneas se multiplican de igual forma. El producto de dos o más fracciones es entonces igual a otra fracción que tiene como numerador el producto de los numeradores y tiene también como denominador el producto de los denominadores. Veamos un claro ejemplo:

Dividamos fracciones heterogéneas o no, debemos cambiar siempre a una multiplicación y la segunda fracción cambiará entonces a su recíproco. El cociente de dos fracciones será otra fracción que tendrá como numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda y tendrá por denominador el producto del denominador de la primera multiplicado por el denominador de la segunda.Veamos por último el siguiente ejemplo:

NOTA.- Tanto el numerador como el denominador son siempre números enteros, por lo cual las cifras que representan las fracciones son números racionales.

NUMEROS MIXTOS

Las fracciones constan de dos números. El número superior llamado numerador. El número inferior llamado denominador.
Una fracción impropia es una fracción que tiene un numerador más grande o igual a su denominador. Una fracción propia es una fracción con el numerador más pequeño que el denominador.
Un número mixto consta de un entero seguido de una fracción propia.
Ejemplo: El número mixto 3 3/5, se puede cambiar a una fracción impropia convirtiendo la porción entera a una fracción con el mismo denominador que tiene la porción fraccionaria y luego sumando las dos fracciones. En este caso la porción entera (3) se convierte a 15/5. La suma de las dos fracciones es 15/5 + 3/5 = 18/5.
La conversión entera es:
3 3/5 = 15/5 + 3/5 = 18/5.

Números Fraccionarios y Mixtos.

(A) Realice la siguiente operación:

numerador 5 3 4 2
----- + ------ - ------ + ---- =
denominador 7 7 7 7

Se trata de sumar y restar fracciones de igual denominador.

La fracción resultante de esta operación tendrá el mismo denominador, siendo su numerador el resultado de sumar y restar los numeradores de las cuatro fracciones dadas.

Así, 5 + 3 – 4 + 2 es igual a 6. Este será el numerador.

El denominador será el mismo que en las fracciones anteriores, 7.

6
En consecuencia, el resultado de la operación será: -----
7

(B) Resuelva lo siguiente:

2 1 5 3
---- + ---- + ---- - ---- =
3 4 2 6

En este caso, las fracciones a sumar y restar tienen distinto denominador. Habrá que reducirlas, en primer lugar, a común denominador.

Para ello se debe buscar el mínimo múltiplo común de los denominadores, en este caso de 3, 4, 2 y 6.

Estos números poseen infinitos múltiplos comunes, pero conviene encontrar el menor, el más pequeño de los comunes.

En esta ocasión es 12.

Llegados a este punto, se trata de hallar fracciones equivalentes a cada una de las cuatro dadas en el enunciado del problema, pero que posean como denominador el 12.
Se obtiene una fracción equivalente a la primera si se multiplican o dividen numerador y denominador por el mismo número.

En consecuencia, la fracción equivalente a 2/3 que presente 12 en el denominador será; 8/12 porque al 3 lo hemos multiplicado por 4 para obtener 12.

Del mismo modo, y para que la fracción resultante sea equivalente a la primera, habrá que multiplicar el numerador por el mismo número; 2 x 4 = 8.

1 3
(1 x 3) La fracción equivalente a: ---- con denominador 12, será ------
4 12 (4 x 3 )

6 5 3 3
La equivalente a: ----- será; ----- y la equivalente a ----- será; -----
12 2 12 6

Reescribiendo lo obtenido nos encontramos con una operación equivalente a la original pero con el mismo denominador. Dicha operación se realizará según lo expuesto en el epígrafe anterior. Así:

8 3 30 6 35
---- + ---- + ---- - ---- = -----
12 12 12 12 12

( C ) Opere estas fracciones:

3 2 5
---- x ---- x ----
4 3 2

Se trata de una multiplicación de fracciones. Para resolverla se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

En concreto, 3 x 2 x 5 = 30, mientras que 4 x 3 x 2 = 24. La fracción resultante de multiplicar esas tres será:

30 5
---- = ----
24 4

Hemos dividido numerador y denominador por ( 6 ), para reducir al máximo la fracción.

( D ) Resuelve la operación:

3 4
---- : ---- =
5 3

La división es la operación inversa a la multiplicación.

Para resolverla se multiplica la primera la primera fracción por la inversa de la segunda.

3 3 9
Es decir: ---- x ----- Por tanto, el resultado de la operación será: -----
5 4 20


( E ) Realice la operación:

1 3
6----- + ----- =
2 4

El primer término de la suma se denomina número mixto. Consiste en la suma de un número natural y una fracción, 6 + ½.

Para pasarlo a fraccionario se aplica la definición de suma, así:

1 1 6 1 (6 x 2) + 1 13
6 ---- = 6 + ----- = ---- + ----- = ------------------ = -----
2 2 1 2 2 12

O bien, se multiplica el número entero por el denominador y al resultado se le suma el numerador.

El denominador se mantiene:

1 6 x 2 + 1 13
6 --- = --------------- = ------
2 2 2

El resto de la suma se realizará según lo apuntado anteriormente:

13 3 ( 13 x 2 ) + 3 29
----- + ----- = --------------------; siendo el resultado, ----
2 4 4 4

NOTA: Si la fracción resultante equivale a un número entero, ésta será la respuesta más correcta:

15 18 188
( ------- = 5; ----- = 3; ------ = 47, etc. )
3 6 4

Si se puede reducir la fracción (dividir por un mismo número numerador y denominador) la respuesta más correcta será la máxima reducción posible:

17 1 = 17 : 17 15 5 8 1
------ = ----- ----- = ----; ----- = ---- , etc.
51 3 = 51 : 17 24 8 32 4